Skip to Content

Вынужденные колебания. Переменный ток



Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями. Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь. Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω0. Если частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника. Для установления стационарных вынужденных колебаний необходимо некоторое время Δt после включения в цепь внешнего источника. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи. Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока. Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 5.3.1):

e(t) = Eds0 cos ωt,

где Eds0 – амплитуда, ω – круговая частота. 

Вынужденные колебания в контуре. 1
Рисунок 5.3.1. Вынужденные колебания в контуре.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 5.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому закон Ома можно записать для мгновенных значений токов и напряжений:

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Величина  Вынужденные колебания. Переменный ток
– это перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую ЭДС самоиндукции катушки. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности. Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

uR + uC + uL = e(t) = Eds0 cos ωt,

где uR(t), uC(t) и uL(t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами UR, UC и UL. При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм.  На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 5.3.2).

Изображение гармонических колебаний 2
Рисунок 5.3.2. Изображение гармонических колебаний A cos (ωt + φ1), B cos (ωt + φ2) и их суммы C cos (ωt + φ) с помощью векторов на векторной диаграмме.

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам колебаний A и B, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ1 и φ2. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом Δφ = φ1 – φ2. Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:  Вынужденные колебания. Переменный ток
Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи. Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением R, конденсатору емкости C и катушки индуктивности L. Во всех трех случаях напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке равны напряжению источника переменного тока. 1. Резистор в цепи переменного тока

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Здесь через IR обозначена амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением

RIR = UR.

  Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю. 2. Конденсатор в цепи переменного тока

 Вынужденные колебания. Переменный ток

 

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Соотношение между амплитудами тока IC и напряжения UC:

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Ток опережает по фазе напряжение на угол  Вынужденные колебания. Переменный ток
3. Катушка в цепи переменного тока

 Вынужденные колебания. Переменный ток

 

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Соотношение между амплитудами тока IL и напряжения UL:

ωLIL = UL.

  Ток отстает по фазе от напряжения на угол  Вынужденные колебания. Переменный ток
Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I0. Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного RLC-контура изображена на рис. 5.3.2.

Векторная диаграмма 3
Рисунок 5.3.3. Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи.

Векторная диаграмма на рис. 5.3.2 построена для случая, когда  Вынужденные колебания. Переменный ток
или  Вынужденные колебания. Переменный ток
В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ. Из рисунка видно, что

 Вынужденные колебания. Переменный ток

откуда следует

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Из выражения для I0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии

 Вынужденные колебания. Переменный ток

или

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω внешнего источника с собственной частотой ω0 электрической цепи называется электрическим резонансом. При резонансе

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений. Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов) При последовательном резонансе (ω = ω0) амплитуды UC и UL напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  В § 2.2 было введено понятие добротности RLC-контура:

 Вынужденные колебания. Переменный ток

  Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Резонансные кривые для контуров 4
Рисунок 5.3.4. Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q.

Рис. 5.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды UC напряжения на конденсаторе к амплитуде Eds0 напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. Кривые на рис. 5.3.3 называются резонансными кривыми. Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.