Skip to Content

Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи



В цепях постоянного тока распределение электрических зарядов на проводниках и токов на участках цепи стационарно, то есть неизменно во времени. Электромагнитное поле в таких цепях состоит из электростатического поля неподвижных зарядов и магнитного поля постоянных токов. Эти поля существуют независимо друг от друга. Если на каком-то участке цепи происходят изменения силы тока или напряжения, то другие участки цепи могут «почувствовать» эти изменения только через некоторое время, которое по порядку величины равно времени τ распространения электромагнитного возмущения от одной точки цепи к другой. Так как электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью, равной скорости света c , то  Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи
где l – расстояние между наиболее удаленными точками цепи. Если это время τ много меньше длительности процессов, происходящих в цепи, то можно считать, что в каждый момент времени сила тока одинакова во всех последовательно соединенных участках цепи. Процессы такого рода в электрических цепях называются квазистационарными. Квазистационарные процессы можно исследовать с помощью законов постоянного тока, если применять эти законы к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи. Из-за огромного значения скорости света время установления электрического равновесия в цепи оказывается весьма малым.

Поэтому к квазистационарным можно отнести многие достаточно быстрые в обычном смысле процессы. Например, быстрые колебания в радиотехнических цепях с частотами порядка миллиона колебаний в секунду и даже выше очень часто еще можно рассматривать как квазистационарные. Простыми примерами квазистационарных процессов могут служить процессы, происходящие в RC- и RL-цепях при подключении и отключении источника постоянного тока. На рис. 5.1.1 изображена электрическая цепь, состоящая из конденсатора с емкостью C, резистора с сопротивлением R и источника тока с ЭДС, равной Eds.

Цепи зарядки и разрядки конденсатора 1
Рисунок 5.1.1. Цепи зарядки и разрядки конденсатора через резистор.

Если замкнуть ключ K в положение 1, то начинается процесс зарядки конденсатора через резистор. По закону Ома для квазистационарной цепи можно записать:

RJ + U = Eds,

где J – мгновенное значение силы тока в цепи, U – мгновенное значение напряжения на конденсаторе. Сила тока I в цепи равна изменению заряда q конденсатора в единицу времени:  Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи
Напряжение U на конденсаторе в любой момент времени равно q / C. Из этих соотношений следует

 Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи

  Мы получили дифференциальное уравнение, описывающее процесс зарядки конденсатора. Если конденсатор вначале не был заряжен, то решение этого уравнения имеет вид

 Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи

где τ = RC – так называемая постоянная времени цепи, состоящей из резистора и конденсатора. Величина τ является характеристикой скорости процесса. При t → ∞, U(t) → Eds. Процесс зарядки конденсатора через резистор изображен на рис. 5.1.2(I). 

Зарядка  и разрядка конденсатора 2
Рисунок 5.1.2. Зарядка (I) и разрядка (II) конденсатора через резистор.

Если после того, как конденсатор полностью зарядился до напряжения Eds, ключ K перебросить в положение 2, то начнется процесс разрядки. Внешний источник тока в цепи разрядки отсутствует (Eds = 0). Процесс разрядки описывается выражением

U(t) = Eds exp (–t / τ).

  Зависимость U(t) в процессе разрядки изображена на рис. 5.1.2(II). При t = τ напряжение на конденсаторе уменьшается в e ≈ 2,7 раза. Аналогично протекают процессы в цепи, содержащей катушку с индуктивностью L и резистор с сопротивлением R (рис. 5.1.3).

Цепь, содержащая катушку 3
Рисунок 5.1.3. Цепь, содержащая катушку с индуктивностью L, резистор с сопротивлением R и источник тока с ЭДС, равной Eds.

Если в цепи, изображенной на рис. 5.1.3, ключ K сначала был замкнут, а затем внезапно разомкнут, то начнется процесс установления тока. Этот процесс описывается уравнением

 Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи

  Это уравнение по виду совпадает с уравнением, описывающим зарядку конденсатора, только теперь переменной величиной является сила тока J. Решение этого уравнения имеет вид

 Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи

где постоянная времени τ = L / R. Аналогичным образом можно получить закон убывания тока в RL-цепи после замыкания ключа K:

 Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи

  Следует отметить, что процессы в RC- и RL-цепях аналогичны механическим процессам при движении тела в вязкой жидкости.