Skip to Content

Свободные колебания. Математический маятник



Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести  Свободные колебания. Математический маятник
уравновешивается силой натяжения нити  Свободные колебания. Математический маятник
При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Математический маятник. 1
Рисунок 2.3.1. Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

 Свободные колебания. Математический маятник

  Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а  Свободные колебания. Математический маятник
Только в случае малых колебаний, когда приближенно  Свободные колебания. Математический маятник
можно заменить на  Свободные колебания. Математический маятник
математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина  Свободные колебания. Математический маятник
отличается от  Свободные колебания. Математический маятник
не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

 Свободные колебания. Математический маятник

  Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

 Свободные колебания. Математический маятник

  Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника. Следовательно,

 Свободные колебания. Математический маятник

  Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

M = –(mg sin φ)d.

  Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

Физический маятник. 2
Рисунок 2.3.2. Физический маятник.

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ. Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

M = –mgdφ.

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)

Iε = M = –mgdφ.

где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:

 Свободные колебания. Математический маятник

  Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника. Следовательно,

 Свободные колебания. Математический маятник

  Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:

 Свободные колебания. Математический маятник

  Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

 Свободные колебания. Математический маятник

  Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент  Свободные колебания. Математический маятник
в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника. По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера, §1.23) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

I = IC + md2.

  Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

 Свободные колебания. Математический маятник