Skip to Content

Движение по окружности



Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения  Движение по окружности удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

Δl = RΔφ.

  При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

Линейное  и угловое  перемещения 1
Рисунок 1.6.1. Линейное  Движение по окружности
            и угловое  Движение по окружности
            перемещения при движении тела по окружности.

Угловой скоростью ω тел в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt:

 Движение по окружности

  Угловая скорость измеряется в рад/с. Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

υ = ωR.

  При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора  Движение по окружности Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

 Движение по окружности

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями: 

 Движение по окружности

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости  Движение по окружности за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения

 Движение по окружности

  Векторы скоростей  Движение по окружности и  Движение по окружности в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA = υB = υ. Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

 Движение по окружности

 

Центростремительное ускорение тела 2
Рисунок 1.6.2. Центростремительное ускорение тела  Движение по окружности
            при равномерном движении по окружности.

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

 Движение по окружности

  При малых углах Δφ направление вектора  Движение по окружности приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим:

 Движение по окружности

  При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным. В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде

 Движение по окружности

где  Движение по окружности – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.  Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения.

 Движение по окружности

  В этой формуле Δυτ = υ2 – υ1 – изменение модуля скорости за промежуток времени Δt. Направление вектора полного ускорения  Движение по окружности определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Составляющие ускорения 3
Рисунок 1.6.3. Составляющие ускорения  Движение по окружности
            и  Движение по окружности
            при неравномерном движении тела по окружности.

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υx и υy (рис. 1.6.4). При равномерном вращении тела величины x, y, υx, υy будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом

 Движение по окружности

 

Разложение вектора скорости 4
Рисунок 1.6.4. Разложение вектора скорости  Движение по окружности
            по координатным осям.