Skip to Content

Законы Кеплера



В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле. Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства. Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения. С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (~ 140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд. 1
Рисунок 1.24.1. Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге. Первый закон Кеплера (1609 г.): Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием или апогелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Эллиптическая орбита планеты массой m << M. а – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты 2
Рисунок 1.24.2. Эллиптическая орбита планеты массой m << M. а – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым. Второй закон Кеплера (1609 г.):  

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

  Рис. 1.24.3 иллюстрирует второй закон Кеплера.

Закон площадей – второй закон Кеплера. 3
Рисунок 1.24.3. Закон площадей – второй закон Кеплера.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела  Законы Кеплера и его составляющие  Законы Кеплера и  Законы Кеплера Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r:

 Законы Кеплера

  Здесь  Законы Кеплера – угловая скорость (см. §1.6). Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов  Законы Кеплера и  Законы Кеплера

 Законы Кеплера

  Из этих отношений следует:

 Законы Кеплера

  Поэтому, если по второму закону Кеплера  Законы Кеплера то и момент импульса L при движении остается неизменным. В частности, поскольку скорости планеты в перигелии  Законы Кеплера и афелии  Законы Кеплера направлены перпендикулярно радиус-векторам  Законы Кеплера и  Законы Кеплера из закона сохранения момента импульса следует:

rPυP = rAυA.

  Третий закон Кеплера (1619 г.): Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: 

 

 Законы Кеплера

  Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %. На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых круговая с радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a. Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы. 4
Рисунок 1.24.4. Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения:

 Законы Кеплера

где M и m – массы Солнца и планеты, r – расстояние между ними, G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.  Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где T – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует центростремительная сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

 Законы Кеплера

  Если  Законы Кеплера то  Законы Кеплера Свойство консервативности гравитационных сил (см. §1.10) позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки. Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность. Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле. 5
Рисунок 1.24.5. Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа ΔAi гравитационной силы  Законы Кеплера на малом перемещении  Законы Кеплера есть:

 Законы Кеплера

  Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:

 Законы Кеплера

  В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

 Законы Кеплера

  Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения. Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна

 Законы Кеплера

  В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной. Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6). При E = E1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R. 6
Рисунок 1.24.6. Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R.

При E = E2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории. При E = E3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии. Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля. Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

 Законы Кеплера

  Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

 Законы Кеплера

  Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ1 = 7,9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли 7
Рисунок 1.24.7. Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1 – υ = υ1 – круговая траектория; 2 – υ1 < υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3 – υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс; 4 – υ = υ2 – параболическая траектория; 5 – υ > υ2 – гиперболическая траектория; 6 – траектория Луны.