Skip to Content

Вращение твердого тела



Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω

 Вращение твердого тела

и угловое ускорение ε

 Вращение твердого тела

  В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Вращение диска 1
Рисунок 1.23.1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O.

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора  Вращение твердого тела линейного перемещения некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением:

Δs = rΔφ,

где r – модуль радиус-вектора  Вращение твердого тела (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей:

υ = rω,

и между модулями линейного и углового ускорения:

a = aτ = rε.

  Векторы  Вращение твердого тела и  Вращение твердого тела направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть

 Вращение твердого тела

  Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – через υi. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

 Вращение твердого тела

  Физическая величина  Вращение твердого тела зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

 Вращение твердого тела

  В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

 Вращение твердого тела

  Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела  Вращение твердого тела только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω. Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны. Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 (рис. 1.23.2), определяется выражениями:

 Вращение твердого тела

 

Центр масс 2
Рисунок 1.23.2. Центр масс C системы из двух частиц.

В векторной форме это соотношение принимает вид:

 Вращение твердого тела

  Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор  Вращение твердого тела центра масс определяется выражением

 Вращение твердого тела

  Для сплошного тела суммы в выражении для  Вращение твердого тела заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 1.23.3).

Определение положения центра масс 3
Рисунок 1.23.3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса.

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в безразличном состоянии равновесия (см. §1.14). Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка.

Такое движение называется плоским. При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

 Вращение твердого тела

где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. 

Качение колеса  4
Рисунок 1.23.4. Качение колеса (3) как сумма поступательного движения (1) со скоростью  Вращение твердого тела
            и вращения (2) с угловой скоростью  Вращение твердого тела
            относительно оси O, проходящей через центр масс.

В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы. Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Движение твердого тела  5
Рисунок 1.23.5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

К доказательству теоремы 6
Рисунок 1.23.6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δmi – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

 Вращение твердого тела

 

 Вращение твердого тела

  Выражение для IP можно переписать в виде:

 Вращение твердого тела

  Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно,

IP = IC + md2,

где m – полная масса тела. Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).  На рис. 1.23.7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Моменты инерции IC 7
Рисунок 1.23.7. Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O. Выделим произвольный малый элемент массы Δmi. На него действуют внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть  Вращение твердого тела Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую  Вращение твердого тела и радиальную  Вращение твердого тела Радиальная составляющая создает центростремительное ускорение an.

Касательная 8
Рисунок 1.23.8. Касательная  Вращение твердого тела
            и радиальная  Вращение твердого тела
            составляющие силы  Вращение твердого тела
            действующей на элемент  Вращение твердого тела
            твердого тела.

Касательная составляющая  Вращение твердого тела вызывает тангенциальное ускорение  Вращение твердого тела массы  Вращение твердого тела Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

Δmiaiτ = Fiτ = Fi sin θ  или  Δmiriε = Fi sin θ,

где  Вращение твердого тела – угловое ускорение всех точек твердого тела.  Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:

 Вращение твердого тела

  Здесь  Вращение твердого тела – плечо силы  Вращение твердого тела,  Вращение твердого тела – момент силы. Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δmi вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

 Вращение твердого тела

  Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

 Вращение твердого тела

  Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. В итоге:

Iε = M.

  Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки. Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины  Вращение твердого тела,  Вращение твердого тела,  Вращение твердого тела определяются как векторы, направленные по оси вращения. При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела  Вращение твердого тела (см. §1.16). Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса. Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:

L = Iω.

  Поскольку  Вращение твердого тела уравнение вращательного движения можно представить в виде:

 Вращение твердого тела

  Окончательно будем иметь:

 Вращение твердого тела

  Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения. Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:

ΔL = 0, если M = 0.

  Следовательно,

L = Iω = const.

  Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис. 1.23.9).

Неупругое вращательное столкновение 9
Рисунок 1.23.9. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1 = (I1 + I2)ω.

Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера – см. §1.24). Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением. Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 1.23.10).

Качение симметричного тела 10
Рисунок 1.23.10. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести  Вращение твердого тела и силы реакции  Вращение твердого тела относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = FтрR. Уравнение вращательного движения:

 Вращение твердого тела

где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.  Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

ma = mg sin α – Fтр.

  Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:

 Вращение твердого тела

  Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара  Вращение твердого тела а у сплошного однородного цилиндра  Вращение твердого тела Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.