Skip to Content

Импульс тела



Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила  Импульс тела Под действием этой силы скорость тела изменилась на  Импульс тела Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением

 Импульс тела

  Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

 Импульс тела

  Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с). Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной. Второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы. Обозначив импульс тела буквой  Импульс тела второй закон Ньютона можно записать в виде

 Импульс тела

  Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила  Импульс тела в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:

FxΔt = Δpx;  FyΔt = Δpy;  FzΔt = Δpz.

  Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, то есть движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ0 под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Fт = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела

Fтt = mgt = Δp = m(υ – υ0), откуда υ = υ0 + gt.

  Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы Fср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Вычисление импульса силы 1
Рисунок 1.16.1. Вычисление импульса силы по графику зависимости F(t).

Выберем на оси времени малый интервал Δt, в течение которого сила F(t) практически остается неизменной. Импульс силы F(t)Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δti, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δti, то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δti → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F(t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F(t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F(t) на интервале [0; t]. Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t1 = 0 с до t2 = 10 с равен:

 Импульс тела

  В этом простом примере  Импульс тела В некоторых случаях среднюю силу Fср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10–3 с. Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:

p = mυ = 12,5 кг·м/с.

  Следовательно, средняя сила Fср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:

 Импульс тела

  Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг. Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный  Импульс тела и конечный  Импульс тела импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса  Импульс тела удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора  Импульс тела и  Импульс тела, а также вектор  Импульс тела построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью  Импульс тела под углом α к нормали (ось OX) и отскочил от нее со скоростью  Импульс тела под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила  Импульс тела направление которой совпадает с направлением вектора  Импульс тела

Отскок мяча от шероховатой стенки 2
Рисунок 1.16.2. Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов.

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью  Импульс тела после отскока мяч будет иметь скорость  Импульс тела Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно  Импульс тела В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δpx = –2mυx. Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υx < 0 и Δpx > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2mυ.